Hola Alejandro.
Cuánto tiempo hace que diste de alta el dominio en Search console ? ¿ La cuenta de correo es la misma que utilizas en search console ?
La cuenta de correo asociada a search console para ese dominio tiene que ser la misma que utilizas en Site Kit y el dominio tiene que estar validado en search console.
Los datos los recoge de la consola de google, comprueba también si en Search Console de google tienes datos.
De todas formas lo único que conseguirás con este plugin es cargar la web.
El plugin lo que hace son consultas constantes hacia la consola para obtener datos, esto hace que tu web sea más pesada con lo que puede ralentizar la carga.
Los datos que te ofrece el plugin los puedes consultar directamente en la Consola de Google por lo que no veo sentido el tenerlo en la administración de WordPress.
Un saludo
Un saludo