hacer una copia exacta de mi web a otro dominio que tengo con vosotros  

Hola Jesus

Puedes hacerlo con una extensión de copia de seguridad como Akeeba

La mejor manera de mover Joomla! a "cualquier" otro lugar "remoto o local" es mediante el uso de extensiones como Akeeba Backup o XCloner, las cuales permiten realizar una copia completa del sitio web y de la base de datos en formato .jpa (formato del archivo de la copia para Akeeba Backup y el más recomendado o el formato .zip) y .tar o .tar.gz (formato del archivo de la copia para XCloner), y en un solo archivo llevarse la instalación a donde se desee o mantenerla como archivo de seguridad de la web.

Te adjuntamos unos vídeos para poder copiar y restaurar Joomla! de un Hosting a otro o en el mismo Hosting:

- Como copiar Joomla con Akeeba Backup: https://www.webempresa.com/videos/akeeba_copiadeseguridad/akeeba_copiadeseguridad.html
- Como restaurar Joomla con Akeeba Backup o JoomlaPack: https://www.webempresa.com/videos/akeeba_restauracion/akeeba_restauracion.html

Nota para copias con Akeeba Backup: En el caso de poner una contraseña al realizar un backup anotala para luego introducirla en la restauración.

En el siguiente artículo mostramos información sobre Akeeba Backup

En el siguiente artículo se puede ver como instalar y hacer uso de XCloner para realizar copias de seguridad de Joomla:

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Luego con respecto al dominio destino, tienes el nuevo dominio en una nueva cuento o en la misma cuenta como dominio adicional?, el proceso es el mismo sólo que si lo tienes en la misma cuenta deberás asegurarte de que tengas suficiente espacio en tu cuenta de hosting

Saludos.